最近学习下《朗道量子力学教程》，并想通过这个blog记录下学习过程中的疑问和感想。
§2 叠加态
位形空间: 经典力学中，表示包含系统可能所有状态的一个空间。 比如描述系统的坐标集为q(这里粗体是表明这是多个坐标参量的集合而不仅仅是单个坐标，与下后面括号中的q区分开来), q可能包含多个坐标参量 $(q, q’, q’’, q’’’…)$，那么系统的任一状态就可以表示为$(q_0,q_0’,q_0’’,q_0’’’ …)$。 假如只考虑一个单粒子的状态，不考虑其速度，只考虑其坐标作为其状态的表示，那么它的位形空间就是普通空间，该单粒子的任意一个状态，即该单粒子处于空间的某个位置$(x_0,y_0,z_0)$，$d\bf{q}$就是普通空间的一个体积元dV, 即$dxdydz$.
假如一个体系的状态可以通过坐标函数在$\psi(\textbf{q})$表示,也就是说在系统在$d\textbf{q}_0$的体积元内，表示系统状态的值为$\psi(\textbf{q}_0)$. 通过一个经典的例子理解：假如在一个封闭盒子充满了NaCl溶液，且$Na^+$的浓度是不均匀的。 如果用$Na^+$的状态表示系统的状态，表示为$\rho(\bf{r})$，则在$x_0,y_0,z_0$位置的小体积元内，$Na^+$的浓度为$\rho(x_0,y_0,z_0)$, $Na^+$的数量为$\rho(x_0,y_0,z_0)dxdydz$.
疑问
- §11矩阵中，常常用到定态的本征函数$\psi_n$, $n$是对应本征能量$E_n$，即$\psi_n$是该体系中本征能量为$E_n$的电子在空间的分布。那么本征能量是一个值吗？ 能带图中一个能带（能带图中的一条线）是具有一定的宽度的。 能带图中的一个条能带对应的电子的空间分布$\psi_n$是同一个吗？
答：本书所说的典型的定态结构一般是指如球方势阱等非周期结构，定态中的本征函数$\psi_n$对应的就是一个能量值，而本征函数$\psi_n$就是电子的一种空间分布。
而能带的概念是适用于周期性的结构，需要结合bloch理论进行分析，而§11所讲的内容是基于定态（封闭系统或处于恒定外场中的系统），当然所涵盖的范围应该包括封闭系统下的周期结构。周期性结构中，我们计算的过程中，先指定K点，再解KS方程，得到本征能量和本征函数，讲所有选取的K点（K mesh）都计算完成后，每个K点都有对应的一系列的本征值和本征函数。 所以周期结构中，能量的表示方法一般为 $E_n,_k$, 而本征函数 $\psi_n,_k(x,y,z)$。 $E_n,_k$沿着高对称点所取的路径选择K点计算得到的一系列本征值所连的曲线就是能带结构中的一条能带。 那么一个能带所对应的电子的空间分别不是将所有的$\psi_n$$_0,_k(x,y,z)$进行叠加吗？